طريقة رياضية جديدة ومذهلة لاكتشاف الأعداد الأولية باستخدام تقسيمات الأعداد الصحيحة

لطالما حيّرت الأعداد الأولية عقول علماء الرياضيات على مر العصور، فهي اللبنات الأساسية في عالم الأعداد، ومع ذلك تبقى طريقة توزيعها بين الأعداد الطبيعية لغزاً عصياً على الفهم، وبينما يسهل تمييز الأعداد الأولية الصغيرة مثل 2 و3 و5، يصبح الأمر بالغ الصعوبة عند التعامل مع الأعداد الأكبر. إذ أن أكبر عدد أولي معروف حتى اليوم، وهو ، يحتوي على أكثر من 41 مليون رقم.
لكن اكتشافاً حديثاً قد يفتح الباب أمام فهم جديد كلياً لهذه الأعداد الغامضة.
- اكتشاف ثوري: الأعداد الأولية من خلال تقسيمات الأعداد الصحيحة
في دراسة نُشرت حديثاً في مجلة Proceedings of the National Academy of Sciences USA، كشف ثلاثة من علماء الرياضيات وهم كين أونو (جامعة فرجينيا)، وويليام كريغ (الأكاديمية البحرية الأمريكية)، ويان-فيلم فان إيترسوم (جامعة كولونيا في ألمانيا)، عن طريقة غير مسبوقة لتحديد الأعداد الأولية، هذه الطريقة تعتمد على مفهوم رياضي قديم يُعرف بـ"تقسيمات الأعداد الصحيحة" (Integer Partitions).
تقسيم العدد الصحيح يعني حساب عدد الطرق المختلفة التي يمكن بها جمع أعداد أصغر للحصول على هذا العدد. فمثلاً، العدد 5 يمكن تقسيمه إلى 7 طرق مختلفة، مثل: 4 + 1، أو 2 + 2 + 1، أو حتى 1 + 1 + 1 + 1 + 1.
ورغم بساطة الفكرة ظاهريًا، إلا أنها أثبتت فاعلية مدهشة في تحديد الأعداد الأولية.
- المعادلات الديوفانتية وعلاقتها بالأعداد الأولية
أظهر الفريق البحثي أن الأعداد الأولية تمثّل حلولا لأنواع محددة من المعادلات الديوفانتية التي تعتمد على دوال التقسيم، هذا يعني ببساطة أن هناك عددا لا نهائيا من المعادلات التي يمكن استخدامها لاكتشاف ما إذا كان عدد معين أوليا، إحدى هذه المعادلات، على سبيل المثال، هي:
(3n^3 − 13n^2 + 18n − 8)M_1(n) + (12n^2 − 120n + 212)M_2(n) − 960M_3(n) = 0
حيث و و هي دوال تقسيم معروفة ومدروسة جيدا،
ويقول أونو: "إن عملنا يقدم عددا لا نهائيا من التعريفات الجديدة لما يعنيه أن يكون العدد أوليا"، واصفا هذا الإنجاز بأنه "مذهل إلى حد يصعب تصديقه".
- تأثيرات مستقبلية محتملة على الرياضيات والتشفير
هذا الاكتشاف لا يقتصر فقط على إغناء نظرية الأعداد، بل قد يكون له تأثيرات كبيرة في مجالات أخرى مثل علم التشفير، حيث تُستخدم الأعداد الأولية كأساس لتقنيات الأمان الرقمي.
تعلّق كاترين بريغمان، عالمة رياضيات في جامعة كولونيا: "هذا العمل قد يلهم دراسات جديدة حول الخصائص الجبرية أو التحليلية المفاجئة في دوال التقسيم". كما تقترح إمكانية توسيع نطاق البحث ليشمل أنماطاً رياضية أخرى كالأعداد المركبة أو القيم الخاصة للدوال الحسابية.
- ما وراء الاكتشاف: الأسئلة الكبرى ما زالت قائمة
على الرغم من هذا الاكتشاف اللافت، إلا أن العديد من التساؤلات الكلاسيكية حول الأعداد الأولية تبقى بلا إجابة، مثل:
فرضية التوأم الأولي: التي تفترض وجود عدد لا نهائي من الأزواج الأولية المتجاورة بفارق 2.
حدسية غولدباخ: التي تنص على أن كل عدد زوجي أكبر من 2 يمكن التعبير عنه كمجموع عددين أوليين.
ويوضح أونو: "هذه المشكلات حيّرت علماء الرياضيات على مدى قرون، وقد لا تحلّ بهذه الطريقة، لكنها تدفعنا لفهم أعمق لطبيعة الأعداد الأولية".
- نافذة جديدة على عالم رياضي كلاسيكي
يؤكد جورج أندروز، عالم رياضيات في جامعة ولاية بنسلفانيا، أن ما توصّل إليه الفريق هو "شيء جديد تماما، ولم يكن متوقعًا". وقد يفتح هذا الاكتشاف الباب نحو فهم أعمق ومقاربات جديدة لمسائل رياضية ظلت عصيّة لقرون.
إن اكتشاف طريقة جديدة كليا لتحديد الأعداد الأولية يُعدّ خطوة كبيرة في علم الرياضيات، وربما بداية لعصر جديد من الاكتشافات المترابطة بين فروع هذا العلم المعقد.

المصدر:   Scientific American